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    中學和大學為何要重視數學建模教育

    2020年06月02日來源:文匯報

    中國科學院院士 李大潛

    ■最近在全國制訂高中數學課程標準時,一位專家對數學的作用概括了三句話:用數學的眼光觀察現實世界,用數學的思維思考現實世界,用數學的語言表達現實世界。

    ■傳統的數學教育往往從基本的概念或定義出發,以簡練的方式合乎邏輯地推演出所要求的結論。這固然可以使學生在較短時間內按部就班地學到盡可能多的內容,并體會到一種絲絲入扣、天衣無縫的美感。但是,過分強調這一點,就可能使學生誤以為數學這樣的完美無缺、無懈可擊是與生俱來、天經地義的,反而使思想處于一種僵化狀態,在生動活潑的現實世界面前手足無措、一籌莫展,甚至使學生感到學了很多據說非常重要、十分有用的數學知識以后,卻不會應用或無法應用,甚至還覺得毫無用處。

    ■從今年開始,數學建模的實踐和活動也已首次列入全國高級中學的教學計劃。

    世間萬事萬物都有數和形兩個側面,數學就是撇開了事物其他方面的狀態和屬性,單純研究現實世界中空間形式與數量關系的科學。數學是各門科學的重要基礎,更是人類文明的重要組成部分和堅實支柱,現在,大學本科數學類的專業已經成了一個最熱門的專業。

    但是,要顯示數學強大的生命力,需要將實際問題化為相應的數學問題,然后對這個數學問題進行分析和計算,最后將所求解答回歸實際,看能否有效地回答問題,如果不能,再從頭調整,直到基本滿意為止。這個過程,特別是其中第一步,就是數學建模,即為所考察的實際問題建立數學模型。

    數學建模是聯系數學與應用的重要橋梁。數學建模對培養創新型人才非常重要

    “數學模型”和“數學建?!边@兩個名詞出現得比較晚,在我國興起并被廣泛使用,不過是近三十多年的事,但數學模型的建立或數學建模,古已有之。

    公元前三世紀歐幾里得所著的《幾何原本》是公認的數學經典。他用嚴格演繹的方法,利用古希臘時代積累的眾多幾何知識建立了一個完整的體系,一座宏偉的幾何大廈,為現實世界的空間形式構建了一個數學模型。這個模型十分有效,在各方面都有成功的應用,并且在它的基礎上發展出一整套幾何學、以及以演繹推理為核心的數學研究方法,至今都發揮著巨大作用。

    此外,開普勒根據第谷的大量天文觀測數據總結出的行星運動三大規律,后來牛頓利用與距離平方成反比的萬有引力公式,從牛頓力學的原理出發,給出了嚴格的證明,同樣是數學建模取得輝煌成功的例子。一些重要的力學、物理學的基本微分方程,如經典力學中的牛頓第二運動定律、電動力學中的麥斯韋爾方程、流體力學中的歐拉方程與納維-斯托克斯方程,以及量子力學中的薛定諤方程等,都是抓住學科本質的數學模型,并成為相關學科的核心內容和基本理論框架。

    1998年菲爾茲獎得主、英國數學家高爾斯(T.Gowers)認為:數學所研究的并非真正的現實世界,而只是現實世界的數學模型,即所研究的那部分現實世界的一種虛構和簡化的版本。

    按高爾斯的說法,數學研究的是現實世界的數學模型。作為數學研究對象的數學模型本質上來自現實世界,并要接受現實世界無情而公正的檢驗。

    仔細思考,整數,實數,以及歐氏幾何,線性空間,群論,微積分,集合論,乃至混沌,分形等等,有哪一個不是某一方面的數學模型呢?!整個數學的發展歷史就是不斷建立數學模型并對其研究逐步深化的歷史。

    從事數學建模,好比構建一座房屋,一旦房屋初具規模,就成了一個數學模型。以后數學家們所做的工作,就是在這個基礎上,對建筑進行內部整理與裝修。不論應用數學還是純粹數學,都是在數學建?;A上加以發揮和深化。

    同時,數學教育本質上是一種素質教育。要真正使學生走近數學、學好數學并熱愛數學,數學的教學不能和其他科學以及整個外部世界隔離開來,關起門來只在數學內部的概念、方法和理論中兜圈子。這樣做不利于提高學生的數學素養。

    我們的教學應該讓學生身臨其境地了解知識創造過程,否則素質教育就是一句空話

    長期以來,數學課程往往自成體系,處于自我封閉狀態,一直沒有有效的方式,將數學學習與豐富多彩、生動活潑的現實生活聯系起來,以致學生在學了許多據說是非常重要、十分有用的數學知識以后,卻不會應用或無法應用,有些甚至還覺得毫無用處。

    數學建模以及數學實驗等課程,為數學與外部世界的聯系在教學過程中打開了通道,為提高學生的數學素質提供了一種有效的方式,并起到了積極的促進作用。這是數學教學改革的一個成功的嘗試,也是對素質教育的一個重要的貢獻。

    不僅如此,任何科學,包括數學科學在內,在本質上都是革命的,是不斷創新、發展,與時俱進的,可是傳統的數學教學過程與這種創新、發展的實際進程卻不免背道而馳。

    傳統的數學教育往往從基本的概念或定義出發,以簡練的方式合乎邏輯地推演出所要求的結論。這固然可以使學生在較短時間內按部就班地學到盡可能多的內容,并體會到一種絲絲入扣、天衣無縫的美感。但是,過分強調這一點,就可能使學生誤以為數學這樣的完美無缺、無懈可擊是與生俱來、天經地義的,反而使思想處于一種僵化狀態,在生動活潑的現實世界面前手足無措、一籌莫展。

    其實,現在看來美不勝收的一些重要的數學思想,包括函數、微積分、集合論等等,在一開始往往是混亂粗糙、難以理解甚至不可思議的,但由于蘊含著創造性的思想,卻又最富有生命力和發展前途,經過許多乃至幾代數學家的努力,有時甚至經過長期的激烈爭論,才逐步去粗取精、去偽存真,使局勢趨于明朗,最終出現了現在為大家公認、甚至寫進教科書里的系統理論。

    要培養學生的創新精神,提高學生的數學修養及素質,固然要灌輸給他們以知識,但更重要的是要使他們了解數學的創造過程。

    這不僅要有機地結合數學內容的講授,介紹數學的思想方法和發展歷史,更要創造一種環境,使學生能身臨其境地介入數學的發現或創造過程;否則,培養創新精神,加強素質教育,不免是一句空話。

    今年開始數學建模首次列入全國高中教學計劃??傊?,要讓學生親口嘗嘗梨子的味道

    在數學教學過程中,要主動采取措施,鼓勵并推動學生解決一些理論或實際的問題。這些問題沒有現成的答案,沒有固定的求解方法,沒有指定的參考書,沒有規定的數學工具,甚至也沒有成型的數學問題;主要靠學生獨立思考、反復鉆研并相互切磋,去形成相應的數學問題,進而分析問題的特點,尋求解決問題的方法,得到有關的結論,并判斷結論的對錯與優劣。

    總之,要讓學生親口嘗一嘗梨子的滋味,親身體驗一下數學的創造過程,取得在課堂里和書本上無法代替的寶貴經驗和切身感受。毫無疑問,數學建模課程的教學以及數學建模競賽的開展,可以在這方面為學生提供一個有益的平臺,是值得引起充分重視的。

    應該特別指出,通過數學建模將一個看來與數學無關的現實問題歸結為一個合理的數學問題,并利用數學方法成功地予以解決,這是重要的能力與素質。這種能力和素質的培養與提高,對一個合格的數學工作者、特別是應用數學工作者來說,對不少將來要走向各行各業的大學生來說,無疑是十分值得重視、應該著重加以培養的。

    但現在的大學生,由于在中學里受的多半是拼命刷題的訓練,而大學的其他數學課程也大都單純著眼于知識的傳播和理論上的完美,這是他們過去從未經歷過的一種訓練,他們在這方面的培養實際上極為欠缺,因而特別值得引起重視。這種培養和訓練,絕不是可有可無的錦上添花,而是實實在在的雪中送炭。

    這樣,數學建模不僅是數學走向應用的必經之路,而且是啟迪數學心靈的必勝之途。這樣集知識、能力和素質的培養與考察三位一體,必將有力地促進創新型優秀人才的培養,得到學生的認真參與和歡迎,也是對素質教育的重要貢獻。

    數學建模對人才培養的重要作用和深遠影響無疑值得我們大家高度重視。正因為這樣,從今年開始,數學建模的實踐和活動也已首次列入全國高級中學的教學計劃。

    最近在全國制訂高中數學課程標準時,一位專家對數學的作用概括了三句話:用數學的眼光觀察現實世界,用數學的思維思考現實世界,用數學的語言表達現實世界。

    我舉幾個簡單的例子對此稍加說明!希望廣大同學能很好地體會這三句話,并且努力地實踐這三個方面的要求。

    生活中的數學1

    為了嚴禁在高鐵列車上吸煙,可以看到鐵路公安的如下提示:“車內吸煙違法,處罰煙火報警,導致緊急停車,危及行車安全。對違法吸煙者根據《鐵路安全管理案例》處500元以上2000元以下罰款;情節嚴重的予以拘留”。

    這個告示大家自然是明白的。但從數學的角度來看,“以上”是“>”而不是“≥”,以下是“<”而不是“≤”。如果真正咬文嚼字,就不能罰500元,只能罰501元;也不能罰2000元,只能罰1999元,這就十分麻煩了。在數學上說,這涉及到開區間與閉區間的區別,實在是含糊不得的。這個告示的文字如果能改動一下,那就更好了。

    這樣的情況實際上多有所見。在升等升級或評獎的很多場合,總有一個評審委員會來投票決定結果。如果委員會有12人,而規定“得票超過其總人數的2/3者當選”,若1人得8票,能當選嗎?如果要此人當選,應將規定改為“得票大于、等于總人數的2/3者當選”。大家將來如果有機會主持投票選舉,一定要注意。這樣做,絕不是吹毛求疵,而是堅持數學的嚴格性,避免造成工作上的麻煩,這就是數學帶來的好處。

    生活中的數學2

    在高速公路上,常有電子屏幕顯示前面的路況,供駕駛人員參考。好多城市的高速路上,提醒前方某一路口出現堵車,往往是“××路口車流量大”。然而,這是不是一個確切而準確的堵車提示呢?車流量應該是單位時間(每小時)內行駛過的車輛數,車流量大,說明通過這個路口的車輛數多,怎么能說是“堵車”呢?如果這條道上一輛車都沒有,其車流量為零,那這是堵車還是暢通呢?因此,單獨用車流量的大小來刻畫堵車,并不正確。

    生活中的數學3

    拐點,是微積分中的一個概念,說的是函數y=f(x)的一階導數的極值點。在日常生活中,我們也經常聽到拐點這個詞。股市中的“拐點”,其實是股市價格的轉折點。股票的價格有漲有落,股民關心股票價格的發展趨勢,股票的價格由降到升(或相反)的點就稱為拐點,這與微積分中的拐點不同。新冠病毒防控的拐點則是每天的增量開始減少的點,這時所說的拐點,和微積分中的拐點概念就是一致的。這說明,同一個名詞,在生活中用于不同的場合,其意義可以是不同的。我們學數學的,要會得分清其間的差別,才能有一個正確的認識。


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